viernes, 27 de febrero de 2009

GEOMETRIA EUCLIDIANA

Las matemáticas se han desarrollado a través de milenios y tienen su origen en la necesidad de los seres humanos de especificar cantidades y medir figuras. El énfasis exagerado que caracteriza a las matemáticas como un medio para describir los problemas del mundo real descansa en la interacción entre lo concreto y lo abstracto. Para cualquier profesor de matemáticas es un reto el darse cuenta de la simbiosis dialéctica entre los lados concreto y abstracto de la matemática. En el currículo escolar la manipulación de los números está dividida en lo concreto: aritmética o cálculos con números, y lo abstracto: álgebra o cálculos con símbolos. En la enseñanza de la geometría esta discriminación involucra sutilezas como el distinguir entre una figura concreta y formas abstractas que con frecuencia permanecen ocultas. Brevemente debo referirme a algunos de los principales desarrollos en la historia de la geometría e indicar los hitos importantes desde el punto de vista didáctico para la enseñanza de la geometría. Debo hacer algunas aclaraciones en geometría, las que en mi opinión siempre tendrán importancia y consecuentemente son relevantes para el currículo en geometría. Desde hace algún tiempo se ha establecido una fuerte presión en el sistema educativo, ésta consiste en la dificultad para introducir nuevos tópicos en el currículo sin quitar otros. Debo argumentar que hay muchos tópicos clásicos que tienen un lugar justificado e importante en el currículo. Espero, si embargo, mostrar también cómo enriquecer el estudio de los tópicos tradicionales, señalando algunos aspectos novedosos. No hay duda de que las gráficas computarizadas pueden mejorar la enseñanza y el entendimiento de la mayoría de los tópicos geométricos; no se requiere introducir nuevos tópicos para hacer uso de estas nuevas herramientas. En mi opinión, los viejos tópicos vistos desde un ángulo contemporáneo pueden ser tan frescos y estimulantes para los alumnos, como los nuevos. ¡Y son muchos! En muchos países hay una tendencia a tomar a la ligera este hecho, posiblemente porque la enseñanza de la ciencia ha sido más bien descriptiva y no explicativa, es decir, no matemática.
índex
1. Geometría EuclidianaGeometría se deriva de la palabra griega geometría (eletqia), que significa medida de la tierra. La palabra fue usada por el historiador griego Herodoto en el siglo V a.C. en su gran épica sobre las guerras persas en donde escribe que en el antiguo Egipto fue usada "geometría" para encontrar la distribución adecuada de la tierra después de los desbordamientos anuales del Nilo.La geometría como un marco de trabajo para la descripción y medida de las figuras fue desarrollada empíricamente en muchas culturas hace varios miles de años. La geometría como una ciencia que compila una colección de proposiciones abstractas acerca de formas ideales y pruebas de estas proposiciones, fue fundada alrededor de los 600 años a.C. en la cultura Griega por Thales, quién de acuerdo a la leyenda propuso varios teoremas en geometría. En el siglo VI a.C., la famosa escuela de los pitagóricos también debe ser mencionada con relación a esto. Desde aquel período temprano debemos, sin embargo, señalar en particular a Eudoxio (alrededor del 391- 338 a.C.), quien es conocido por una teoría de las proporciones y el llamado método de exhaustión, aportaciones que hicieron posible determinar áreas y volúmenes rigurosamente. En primer lugar la geometría clásica Griega ha sobrevivido a través de los famosos trece libros escritos por Euclides alrededor de 300 a.C. conocidos como los Elementos de Euclides. En estos libros el conocimiento matemático, en particular el geométrico, es resumido por los griegos en el tiempo de Euclides y fue sistematizado de tal manera que su exposición, desde entonces, puso un sello a los escritos matemáticos. La enseñanza de la geometría Euclidiana es importante desde los primeros grados del sistema educativo. Los niños debieran ser estimulados a estudiar figuras geométricas simples y explorar sus propiedades. En los primeros grados, la geometría Euclidiana, debiera ser principalmente informal y explicativa, dejando su sistematización para grados posteriores. Más aún, por supuesto, incluso en los grados posteriores, el estilo de enseñanza no debiera estar restringido al estilo sugerido por Euclides en los Elementos. En muchos países han desaparecido del programa las construcciones con regla y compás, no obstante ser una manera muy buena de aprender a analizar una situación como el primer paso en un proceso matemático. En el pasado se ha puesto en claro que ésta es una buena manera de crear interés por las matemáticas entre los niños dotados. Hacer una construcción elaborada es tanto creativo como inventivo. Si se quieren producir pequeños programas en la computadora para dibujar figuras geométricas se requiere saber cómo construirlas. De hecho, lo más importante de estas construcciones pudiera nuevamente resultar central el uso de la computadora como una herramienta para la enseñanza de la geometría elemental. Nociones tales como semejanza, congruencia y simetría son fundamentales para una gran cantidad de argumentos y aplicaciones matemáticas y debieran ser estudiados con cierto detalle. En niveles avanzados de estudio, tales nociones pertenecen a la geometría transformacional. No creo que a los niños se les deba enseñar las formalidades de los postulados de Euclides, y en todo caso no a tan temprana edad, pero sus profesores debieran conocerlos y enseñarlos con una perspectiva propia. Los lados concreto y abstracto de la geometría no debieran ser formalizados y teorizados pero debieran ser experimentados durante la enseñanza y debieran ser desarrollados gradualmente en los alumnos y estudiantes. Al final, debiera emerger la diferencia entre una figura concreta y una forma abstracta. Las pruebas son útiles cuando actúan como explicaciones o revelan hechos sorprendentes que no pueden ser establecidos sólo por la "experimentación". En mi opinión uno siempre debiera buscar pruebas que actuaran como explicaciones, pero me he percatado de que algunas veces esto puede ser difícil. También me he tomado cabal conciencia de que lo que es un hecho sorprendente para un niño puedo no serlo para otro. Pero aún así, pienso que hay algunos hechos que son sorprendentes casi para cualquiera.

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