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sábado, 30 de mayo de 2009
viernes, 17 de abril de 2009
CLASIFICACION DE TRIÀNGULOS
TRIÁNGULOS
Triángulo es la figura plana formada por una poligonal cerrada de tres lados, o bien, la figura formada por tres rectas que se cortan, a los puntos de corte se les llama vértices.
Los ángulos del triángulo se designan con letras mayúsculas A,B, y C y los lados opuestos con a, b y c. La suma de los lados es el perímetro y notaremos por p el semiperímetro.
Un ángulo y un lado son adyacentes cuando el vértice del ángulo está sobre el lado, y un lado y un ángulo son opuestos cuando el ángulo no tiene vértice en ese lado.
Clases de triángulos:
Según los lados
Equilátero. Los tres lados iguales
Isósceles. Dos lados iguales y el tercero desigual.
Escaleno. Los tres lados desiguales.
Según los ángulos
Rectángulo. Tiene un ángulo recto.
Obtusángulo Tiene un ángulo obtuso.
Acutángulo. Los tres ángulos son agudos.
Igualdad de triángulos
Dos triángulos se dicen congruentes, si mediante un movimiento los podemos hacer coincidir, es decir, si tienen los mismos lados y los mismos ángulos; los lados que coinciden se llaman correspondientes u homólogos, análogamente ocurre con los ángulos.
Triángulo es la figura plana formada por una poligonal cerrada de tres lados, o bien, la figura formada por tres rectas que se cortan, a los puntos de corte se les llama vértices.
Los ángulos del triángulo se designan con letras mayúsculas A,B, y C y los lados opuestos con a, b y c. La suma de los lados es el perímetro y notaremos por p el semiperímetro.
Un ángulo y un lado son adyacentes cuando el vértice del ángulo está sobre el lado, y un lado y un ángulo son opuestos cuando el ángulo no tiene vértice en ese lado.
Clases de triángulos:
Según los lados
Equilátero. Los tres lados iguales
Isósceles. Dos lados iguales y el tercero desigual.
Escaleno. Los tres lados desiguales.
Según los ángulos
Rectángulo. Tiene un ángulo recto.
Obtusángulo Tiene un ángulo obtuso.
Acutángulo. Los tres ángulos son agudos.
Igualdad de triángulos
Dos triángulos se dicen congruentes, si mediante un movimiento los podemos hacer coincidir, es decir, si tienen los mismos lados y los mismos ángulos; los lados que coinciden se llaman correspondientes u homólogos, análogamente ocurre con los ángulos.
viernes, 27 de febrero de 2009
GEOMETRIA EUCLIDIANA
Las matemáticas se han desarrollado a través de milenios y tienen su origen en la necesidad de los seres humanos de especificar cantidades y medir figuras. El énfasis exagerado que caracteriza a las matemáticas como un medio para describir los problemas del mundo real descansa en la interacción entre lo concreto y lo abstracto. Para cualquier profesor de matemáticas es un reto el darse cuenta de la simbiosis dialéctica entre los lados concreto y abstracto de la matemática. En el currículo escolar la manipulación de los números está dividida en lo concreto: aritmética o cálculos con números, y lo abstracto: álgebra o cálculos con símbolos. En la enseñanza de la geometría esta discriminación involucra sutilezas como el distinguir entre una figura concreta y formas abstractas que con frecuencia permanecen ocultas. Brevemente debo referirme a algunos de los principales desarrollos en la historia de la geometría e indicar los hitos importantes desde el punto de vista didáctico para la enseñanza de la geometría. Debo hacer algunas aclaraciones en geometría, las que en mi opinión siempre tendrán importancia y consecuentemente son relevantes para el currículo en geometría. Desde hace algún tiempo se ha establecido una fuerte presión en el sistema educativo, ésta consiste en la dificultad para introducir nuevos tópicos en el currículo sin quitar otros. Debo argumentar que hay muchos tópicos clásicos que tienen un lugar justificado e importante en el currículo. Espero, si embargo, mostrar también cómo enriquecer el estudio de los tópicos tradicionales, señalando algunos aspectos novedosos. No hay duda de que las gráficas computarizadas pueden mejorar la enseñanza y el entendimiento de la mayoría de los tópicos geométricos; no se requiere introducir nuevos tópicos para hacer uso de estas nuevas herramientas. En mi opinión, los viejos tópicos vistos desde un ángulo contemporáneo pueden ser tan frescos y estimulantes para los alumnos, como los nuevos. ¡Y son muchos! En muchos países hay una tendencia a tomar a la ligera este hecho, posiblemente porque la enseñanza de la ciencia ha sido más bien descriptiva y no explicativa, es decir, no matemática.
índex
1. Geometría EuclidianaGeometría se deriva de la palabra griega geometría (eletqia), que significa medida de la tierra. La palabra fue usada por el historiador griego Herodoto en el siglo V a.C. en su gran épica sobre las guerras persas en donde escribe que en el antiguo Egipto fue usada "geometría" para encontrar la distribución adecuada de la tierra después de los desbordamientos anuales del Nilo.La geometría como un marco de trabajo para la descripción y medida de las figuras fue desarrollada empíricamente en muchas culturas hace varios miles de años. La geometría como una ciencia que compila una colección de proposiciones abstractas acerca de formas ideales y pruebas de estas proposiciones, fue fundada alrededor de los 600 años a.C. en la cultura Griega por Thales, quién de acuerdo a la leyenda propuso varios teoremas en geometría. En el siglo VI a.C., la famosa escuela de los pitagóricos también debe ser mencionada con relación a esto. Desde aquel período temprano debemos, sin embargo, señalar en particular a Eudoxio (alrededor del 391- 338 a.C.), quien es conocido por una teoría de las proporciones y el llamado método de exhaustión, aportaciones que hicieron posible determinar áreas y volúmenes rigurosamente. En primer lugar la geometría clásica Griega ha sobrevivido a través de los famosos trece libros escritos por Euclides alrededor de 300 a.C. conocidos como los Elementos de Euclides. En estos libros el conocimiento matemático, en particular el geométrico, es resumido por los griegos en el tiempo de Euclides y fue sistematizado de tal manera que su exposición, desde entonces, puso un sello a los escritos matemáticos. La enseñanza de la geometría Euclidiana es importante desde los primeros grados del sistema educativo. Los niños debieran ser estimulados a estudiar figuras geométricas simples y explorar sus propiedades. En los primeros grados, la geometría Euclidiana, debiera ser principalmente informal y explicativa, dejando su sistematización para grados posteriores. Más aún, por supuesto, incluso en los grados posteriores, el estilo de enseñanza no debiera estar restringido al estilo sugerido por Euclides en los Elementos. En muchos países han desaparecido del programa las construcciones con regla y compás, no obstante ser una manera muy buena de aprender a analizar una situación como el primer paso en un proceso matemático. En el pasado se ha puesto en claro que ésta es una buena manera de crear interés por las matemáticas entre los niños dotados. Hacer una construcción elaborada es tanto creativo como inventivo. Si se quieren producir pequeños programas en la computadora para dibujar figuras geométricas se requiere saber cómo construirlas. De hecho, lo más importante de estas construcciones pudiera nuevamente resultar central el uso de la computadora como una herramienta para la enseñanza de la geometría elemental. Nociones tales como semejanza, congruencia y simetría son fundamentales para una gran cantidad de argumentos y aplicaciones matemáticas y debieran ser estudiados con cierto detalle. En niveles avanzados de estudio, tales nociones pertenecen a la geometría transformacional. No creo que a los niños se les deba enseñar las formalidades de los postulados de Euclides, y en todo caso no a tan temprana edad, pero sus profesores debieran conocerlos y enseñarlos con una perspectiva propia. Los lados concreto y abstracto de la geometría no debieran ser formalizados y teorizados pero debieran ser experimentados durante la enseñanza y debieran ser desarrollados gradualmente en los alumnos y estudiantes. Al final, debiera emerger la diferencia entre una figura concreta y una forma abstracta. Las pruebas son útiles cuando actúan como explicaciones o revelan hechos sorprendentes que no pueden ser establecidos sólo por la "experimentación". En mi opinión uno siempre debiera buscar pruebas que actuaran como explicaciones, pero me he percatado de que algunas veces esto puede ser difícil. También me he tomado cabal conciencia de que lo que es un hecho sorprendente para un niño puedo no serlo para otro. Pero aún así, pienso que hay algunos hechos que son sorprendentes casi para cualquiera.
índex
1. Geometría EuclidianaGeometría se deriva de la palabra griega geometría (eletqia), que significa medida de la tierra. La palabra fue usada por el historiador griego Herodoto en el siglo V a.C. en su gran épica sobre las guerras persas en donde escribe que en el antiguo Egipto fue usada "geometría" para encontrar la distribución adecuada de la tierra después de los desbordamientos anuales del Nilo.La geometría como un marco de trabajo para la descripción y medida de las figuras fue desarrollada empíricamente en muchas culturas hace varios miles de años. La geometría como una ciencia que compila una colección de proposiciones abstractas acerca de formas ideales y pruebas de estas proposiciones, fue fundada alrededor de los 600 años a.C. en la cultura Griega por Thales, quién de acuerdo a la leyenda propuso varios teoremas en geometría. En el siglo VI a.C., la famosa escuela de los pitagóricos también debe ser mencionada con relación a esto. Desde aquel período temprano debemos, sin embargo, señalar en particular a Eudoxio (alrededor del 391- 338 a.C.), quien es conocido por una teoría de las proporciones y el llamado método de exhaustión, aportaciones que hicieron posible determinar áreas y volúmenes rigurosamente. En primer lugar la geometría clásica Griega ha sobrevivido a través de los famosos trece libros escritos por Euclides alrededor de 300 a.C. conocidos como los Elementos de Euclides. En estos libros el conocimiento matemático, en particular el geométrico, es resumido por los griegos en el tiempo de Euclides y fue sistematizado de tal manera que su exposición, desde entonces, puso un sello a los escritos matemáticos. La enseñanza de la geometría Euclidiana es importante desde los primeros grados del sistema educativo. Los niños debieran ser estimulados a estudiar figuras geométricas simples y explorar sus propiedades. En los primeros grados, la geometría Euclidiana, debiera ser principalmente informal y explicativa, dejando su sistematización para grados posteriores. Más aún, por supuesto, incluso en los grados posteriores, el estilo de enseñanza no debiera estar restringido al estilo sugerido por Euclides en los Elementos. En muchos países han desaparecido del programa las construcciones con regla y compás, no obstante ser una manera muy buena de aprender a analizar una situación como el primer paso en un proceso matemático. En el pasado se ha puesto en claro que ésta es una buena manera de crear interés por las matemáticas entre los niños dotados. Hacer una construcción elaborada es tanto creativo como inventivo. Si se quieren producir pequeños programas en la computadora para dibujar figuras geométricas se requiere saber cómo construirlas. De hecho, lo más importante de estas construcciones pudiera nuevamente resultar central el uso de la computadora como una herramienta para la enseñanza de la geometría elemental. Nociones tales como semejanza, congruencia y simetría son fundamentales para una gran cantidad de argumentos y aplicaciones matemáticas y debieran ser estudiados con cierto detalle. En niveles avanzados de estudio, tales nociones pertenecen a la geometría transformacional. No creo que a los niños se les deba enseñar las formalidades de los postulados de Euclides, y en todo caso no a tan temprana edad, pero sus profesores debieran conocerlos y enseñarlos con una perspectiva propia. Los lados concreto y abstracto de la geometría no debieran ser formalizados y teorizados pero debieran ser experimentados durante la enseñanza y debieran ser desarrollados gradualmente en los alumnos y estudiantes. Al final, debiera emerger la diferencia entre una figura concreta y una forma abstracta. Las pruebas son útiles cuando actúan como explicaciones o revelan hechos sorprendentes que no pueden ser establecidos sólo por la "experimentación". En mi opinión uno siempre debiera buscar pruebas que actuaran como explicaciones, pero me he percatado de que algunas veces esto puede ser difícil. También me he tomado cabal conciencia de que lo que es un hecho sorprendente para un niño puedo no serlo para otro. Pero aún así, pienso que hay algunos hechos que son sorprendentes casi para cualquiera.
viernes, 20 de febrero de 2009
historia de la geometria
El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos.
Conocimientos geométricos de los babilonios: Hacia el año 2200 a.C. aplicaron reglas para calcular áreas de rectángulos, triángulos isósceles, trapezoides y círculos. En la medición de los sólidos, daban soluciones relacionadas con paralelepípedos, cilindros y prismas rectos, que aplicaban a trabajos de excavación de canales para riego. Conocieron también que el ángulo inscrito en un semicírculo es recto, que los lados homólogos de triángulos semejantes son proporcionales, de la relación entre los lados de un triángulo rectángulo y la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, tomando en valor de 3 para p .
En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría cinetífica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como onclusiones lógicas de un número limitado de axiomas o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.
Aunque existen intentos anteriores, la primera sistematización de ese conjunto de conocimientos cristaliza en los elementos de Euclides (300 a.C.), que si bien no comprendían todos los conocimientos matemáticos de la época, su estructura es tan sólida y orgánica que aun hoy constituye la base de los textos de geometría elemental.
Apolonio de Perga estudió la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrió muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del sol son fundamentalmente cónicas.
Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.
Así, con Euclides, Arquímedes y Apolonio, la geometría griega llega a su culminación. La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la Edad Media.
El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método, publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.
Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro. La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX.
Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclidiana. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque sí coherentes.
Cátedra de Geometría & Trigonometría
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Conocimientos geométricos de los babilonios: Hacia el año 2200 a.C. aplicaron reglas para calcular áreas de rectángulos, triángulos isósceles, trapezoides y círculos. En la medición de los sólidos, daban soluciones relacionadas con paralelepípedos, cilindros y prismas rectos, que aplicaban a trabajos de excavación de canales para riego. Conocieron también que el ángulo inscrito en un semicírculo es recto, que los lados homólogos de triángulos semejantes son proporcionales, de la relación entre los lados de un triángulo rectángulo y la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, tomando en valor de 3 para p .
En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría cinetífica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como onclusiones lógicas de un número limitado de axiomas o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.
Aunque existen intentos anteriores, la primera sistematización de ese conjunto de conocimientos cristaliza en los elementos de Euclides (300 a.C.), que si bien no comprendían todos los conocimientos matemáticos de la época, su estructura es tan sólida y orgánica que aun hoy constituye la base de los textos de geometría elemental.
Apolonio de Perga estudió la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrió muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del sol son fundamentalmente cónicas.
Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.
Así, con Euclides, Arquímedes y Apolonio, la geometría griega llega a su culminación. La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la Edad Media.
El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método, publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.
Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro. La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX.
Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclidiana. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque sí coherentes.
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